\( \cos^2 x \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \cos^2 x \, dx \]

使用三角恒等式 \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \) 来改写积分：

\[ \int \cos^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx \]

使用积分的和法则 \( \displaystyle \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \) 来改写表达式：

\[ \int \cos^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \left( \int 1 \, dx + \int \cos(2x) \, dx \right) \]

利用标准积分 \( \displaystyle \int 1 \, dx = x \) 和 \( \displaystyle \int \cos(2x) \, dx = \dfrac{1}{2} \sin(2x) \) 进行计算：

\[ = \dfrac{1}{2} \left( x + \dfrac{1}{2} \sin(2x) \right) + c \]

其中 \( c \) 为积分常数。

展开 \( \dfrac{1}{2} \) 后，最终结果为：